გადაწყვიტეთ {l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

ამოხსნა m, n-ისთვის

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი m-ისთვის, m-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6m-5n=-9$$

მიუმატეთ 5n განტოლების ორივე მხარეს.

$$6m=5n-9$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე 5n-9.

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}-ით m მეორე განტოლებაში, 4m+3n=65.

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}.

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

მიუმატეთ \frac{10n}{3} 3n-ს.

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{19}{3}n=71$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{19}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$n=\frac{213}{19}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{213}{19}-ით n აქ: m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{5}{6}-ზე \frac{213}{19} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{3}{2} \frac{355}{38}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$m=\frac{149}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - m და n.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

იმისათვის, რომ 6m და 4m ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

გაამარტივეთ.

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

გამოაკელით 24m+18n=390 24m-20n=-36-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

მიუმატეთ 24m -24m-ს. პირობები 24m და -24m გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-20n-18n=-36-390$$

მიუმატეთ -20n -18n-ს.

$$-38n=-36-390$$

მიუმატეთ -36 -390-ს.

$$-38n=-426$$

ორივე მხარე გაყავით -38-ზე.

$$n=\frac{213}{19}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{213}{19}-ით n აქ: 4m+3n=65. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{213}{19}.

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

გამოაკელით \frac{639}{19} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4m=\frac{596}{19}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$m=\frac{149}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$