გადაწყვიტეთ {l}{50x+3y=1}{2x-4y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{19}{206}\approx 0.09223301$$

$$y = -\frac{124}{103} = -1\frac{21}{103} \approx -1.203883495$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$50x+3y=1$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$50x=-3y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 50-ზე.

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{50}-ზე -3y+1.

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+1}{50}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-4y=5.

$$2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}\right)-4y=5$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-3y+1}{50}.

$$-\frac{3}{25}y+\frac{1}{25}-4y=5$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{25} -4y-ს.

$$-\frac{103}{25}y+\frac{1}{25}=5$$

გამოაკელით \frac{1}{25} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{103}{25}y=\frac{124}{25}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{103}{25}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{124}{103}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{124}{103}-ით y აქ: x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{50}\left(-\frac{124}{103}\right)+\frac{1}{50}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{50}-ზე -\frac{124}{103} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{186}{2575}+\frac{1}{50}$$

მიუმატეთ \frac{1}{50} \frac{186}{2575}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{19}{206}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{50\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{50\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{50\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{50}{50\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}&\frac{3}{206}\\\frac{1}{103}&-\frac{25}{103}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}+\frac{3}{206}\times 5\\\frac{1}{103}-\frac{25}{103}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{206}\\-\frac{124}{103}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

იმისათვის, რომ 50x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 50-ზე.

$$2\times 50x+2\times 3y=2,50\times 2x+50\left(-4\right)y=50\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$100x+6y=2,100x-200y=250$$

გამოაკელით 100x-200y=250 100x+6y=2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$100x-100x+6y+200y=2-250$$

მიუმატეთ 100x -100x-ს. პირობები 100x და -100x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y+200y=2-250$$

მიუმატეთ 6y 200y-ს.

$$206y=2-250$$

მიუმატეთ 2 -250-ს.

$$206y=-248$$

ორივე მხარე გაყავით 206-ზე.

$$y=-\frac{124}{103}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{124}{103}-ით y აქ: 2x-4y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-4\left(-\frac{124}{103}\right)=5$$

გაამრავლეთ -4-ზე -\frac{124}{103}.

$$2x+\frac{496}{103}=5$$

გამოაკელით \frac{496}{103} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{19}{103}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{19}{206}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$