გადაწყვიტეთ {l}{5x-y=7}{3x+2y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-y=7,3x+2y=12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-y=7$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=y+7$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე y+7.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7+y}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+2y=12.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}\right)+2y=12$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{7+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{21}{5}+2y=12$$

მიუმატეთ \frac{3y}{5} 2y-ს.

$$\frac{13}{5}y+\frac{21}{5}=12$$

გამოაკელით \frac{21}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{13}{5}y=\frac{39}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{13}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 3.

$$x=\frac{3+7}{5}$$

მიუმატეთ \frac{7}{5} \frac{3}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-y=7,3x+2y=12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 12\\-\frac{3}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-y=7,3x+2y=12$$

იმისათვის, რომ 5x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 7,5\times 3x+5\times 2y=5\times 12$$

გაამარტივეთ.

$$15x-3y=21,15x+10y=60$$

გამოაკელით 15x+10y=60 15x-3y=21-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x-3y-10y=21-60$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-10y=21-60$$

მიუმატეთ -3y -10y-ს.

$$-13y=21-60$$

მიუმატეთ 21 -60-ს.

$$-13y=-39$$

ორივე მხარე გაყავით -13-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: 3x+2y=12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+2\times 3=12$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$3x+6=12$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$