გადაწყვიტეთ {l}{5x-y=3}{-2x+4y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 3 } \\ { - 2 x + 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-y=3$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=y+3$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე y+3.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3+y}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, -2x+4y=12.

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)+4y=12$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{3+y}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}+4y=12$$

მიუმატეთ -\frac{2y}{5} 4y-ს.

$$\frac{18}{5}y-\frac{6}{5}=12$$

მიუმატეთ \frac{6}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{18}{5}y=\frac{66}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{18}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{11}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{11}{3}-ით y აქ: x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{11}{3}+\frac{3}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე \frac{11}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{3}{5}$$

მიუმატეთ \frac{3}{5} \frac{11}{15}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{4}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{18}\times 12\\\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{18}\times 12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

იმისათვის, რომ 5x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 3,5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\times 12$$

გაამარტივეთ.

$$-10x+2y=-6,-10x+20y=60$$

გამოაკელით -10x+20y=60 -10x+2y=-6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-10x+10x+2y-20y=-6-60$$

მიუმატეთ -10x 10x-ს. პირობები -10x და 10x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y-20y=-6-60$$

მიუმატეთ 2y -20y-ს.

$$-18y=-6-60$$

მიუმატეთ -6 -60-ს.

$$-18y=-66$$

ორივე მხარე გაყავით -18-ზე.

$$y=\frac{11}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{11}{3}-ით y აქ: -2x+4y=12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x+4\times \frac{11}{3}=12$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{11}{3}.

$$-2x+\frac{44}{3}=12$$

გამოაკელით \frac{44}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-\frac{8}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=\frac{4}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$