გადაწყვიტეთ {l}{5x-8=y}{3x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 = y } \\ { 3 x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y = -\frac{14}{13} = -1\frac{1}{13} \approx -1.076923077$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$5x-8-y=0$$

დაამატეთ 8 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$5x-y=8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-y=8$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=y+8$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8+y}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+2y=2.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=2$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{8+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{24}{5}+2y=2$$

მიუმატეთ \frac{3y}{5} 2y-ს.

$$\frac{13}{5}y+\frac{24}{5}=2$$

გამოაკელით \frac{24}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{13}{5}y=-\frac{14}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{13}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{14}{13}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{14}{13}-ით y აქ: x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{14}{13}\right)+\frac{8}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -\frac{14}{13} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{14}{65}+\frac{8}{5}$$

მიუმატეთ \frac{8}{5} -\frac{14}{65}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{18}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$5x-8-y=0$$

დაამატეთ 8 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$5x-y=8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8+\frac{1}{13}\times 2\\-\frac{3}{13}\times 8+\frac{5}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\-\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$5x-8-y=0$$

დაამატეთ 8 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$5x-y=8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

იმისათვის, რომ 5x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$15x-3y=24,15x+10y=10$$

გამოაკელით 15x+10y=10 15x-3y=24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x-3y-10y=24-10$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-10y=24-10$$

მიუმატეთ -3y -10y-ს.

$$-13y=24-10$$

მიუმატეთ 24 -10-ს.

$$-13y=14$$

ორივე მხარე გაყავით -13-ზე.

$$y=-\frac{14}{13}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{14}{13}-ით y აქ: 3x+2y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+2\left(-\frac{14}{13}\right)=2$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{14}{13}.

$$3x-\frac{28}{13}=2$$

მიუმატეთ \frac{28}{13} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{54}{13}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{18}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$