გადაწყვიტეთ {l}{5x-7y=4}{-x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = 4 } \\ { - x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-7y=4$$

მიუმატეთ 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=7y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 7y+4.

$$x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7y+4}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, -x+2y=-3.

$$-\left(\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}\right)+2y=-3$$

გაამრავლეთ -1-ზე \frac{7y+4}{5}.

$$-\frac{7}{5}y-\frac{4}{5}+2y=-3$$

მიუმატეთ -\frac{7y}{5} 2y-ს.

$$\frac{3}{5}y-\frac{4}{5}=-3$$

მიუმატეთ \frac{4}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{11}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{11}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{11}{3}-ით y აქ: x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{7}{5}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{4}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{7}{5}-ზე -\frac{11}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{77}{15}+\frac{4}{5}$$

მიუმატეთ \frac{4}{5} -\frac{77}{15}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{13}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&-\frac{-7}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 4+\frac{7}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

იმისათვის, რომ 5x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$-5x-\left(-7y\right)=-4,5\left(-1\right)x+5\times 2y=5\left(-3\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-5x+7y=-4,-5x+10y=-15$$

გამოაკელით -5x+10y=-15 -5x+7y=-4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-5x+5x+7y-10y=-4+15$$

მიუმატეთ -5x 5x-ს. პირობები -5x და 5x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$7y-10y=-4+15$$

მიუმატეთ 7y -10y-ს.

$$-3y=-4+15$$

მიუმატეთ -4 15-ს.

$$-3y=11$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=-\frac{11}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{11}{3}-ით y აქ: -x+2y=-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+2\left(-\frac{11}{3}\right)=-3$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{11}{3}.

$$-x-\frac{22}{3}=-3$$

მიუმატეთ \frac{22}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=\frac{13}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\frac{13}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$