გადაწყვიტეთ {l}{5x-6y=10}{2x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 10 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{88}{47} = 1\frac{41}{47} \approx 1.872340426$$

$$y=-\frac{5}{47}\approx -0.106382979$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-6y=10$$

მიუმატეთ 6y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=6y+10$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 6y+10.

$$x=\frac{6}{5}y+2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{6y}{5}+2-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+7y=3.

$$2\left(\frac{6}{5}y+2\right)+7y=3$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{6y}{5}+2.

$$\frac{12}{5}y+4+7y=3$$

მიუმატეთ \frac{12y}{5} 7y-ს.

$$\frac{47}{5}y+4=3$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{47}{5}y=-1$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{47}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{5}{47}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5}{47}-ით y აქ: x=\frac{6}{5}y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{6}{5}\left(-\frac{5}{47}\right)+2$$

გაამრავლეთ \frac{6}{5}-ზე -\frac{5}{47} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{6}{47}+2$$

მიუმატეთ 2 -\frac{6}{47}-ს.

$$x=\frac{88}{47}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\\-\frac{2}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 10+\frac{6}{47}\times 3\\-\frac{2}{47}\times 10+\frac{5}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{88}{47}\\-\frac{5}{47}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

იმისათვის, რომ 5x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$2\times 5x+2\left(-6\right)y=2\times 10,5\times 2x+5\times 7y=5\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$10x-12y=20,10x+35y=15$$

გამოაკელით 10x+35y=15 10x-12y=20-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10x-10x-12y-35y=20-15$$

მიუმატეთ 10x -10x-ს. პირობები 10x და -10x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-12y-35y=20-15$$

მიუმატეთ -12y -35y-ს.

$$-47y=20-15$$

მიუმატეთ 20 -15-ს.

$$-47y=5$$

ორივე მხარე გაყავით -47-ზე.

$$y=-\frac{5}{47}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5}{47}-ით y აქ: 2x+7y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+7\left(-\frac{5}{47}\right)=3$$

გაამრავლეთ 7-ზე -\frac{5}{47}.

$$2x-\frac{35}{47}=3$$

მიუმატეთ \frac{35}{47} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{176}{47}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{88}{47}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$