გადაწყვიტეთ {l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-3y-4=34$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x-3y=38$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=3y+38$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 3y+38.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y+38}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, -3x+5y-18=34.

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{3y+38}{5}.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{5} 5y-ს.

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

მიუმატეთ -\frac{114}{5} -18-ს.

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

მიუმატეთ \frac{204}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{16}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{187}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{187}{8}-ით y აქ: x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{5}-ზე \frac{187}{8} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

მიუმატეთ \frac{38}{5} \frac{561}{40}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{173}{8}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

იმისათვის, რომ 5x და -3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

გაამარტივეთ.

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

გამოაკელით -15x+25y-90=170 -15x+9y+12=-102-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

მიუმატეთ -15x 15x-ს. პირობები -15x და 15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

მიუმატეთ 9y -25y-ს.

$$-16y+12+90=-102-170$$

მიუმატეთ 12 90-ს.

$$-16y+102=-102-170$$

მიუმატეთ -102 -170-ს.

$$-16y+102=-272$$

გამოაკელით 102 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-16y=-374$$

ორივე მხარე გაყავით -16-ზე.

$$y=\frac{187}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{187}{8}-ით y აქ: -3x+5y-18=34. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{187}{8}.

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

მიუმატეთ \frac{935}{8} -18-ს.

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

გამოაკელით \frac{791}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=\frac{173}{8}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$