გადაწყვიტეთ {l}{5x-3y-2=0}{4x+7y+3=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 2 = 0 } \\ { 4 x + 7 y + 3 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-3y-2=0$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x-3y=2$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=3y+2$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y+2}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+7y+3=0.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y+3=0$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{3y+2}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y+3=0$$

მიუმატეთ \frac{12y}{5} 7y-ს.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}+3=0$$

მიუმატეთ \frac{8}{5} 3-ს.

$$\frac{47}{5}y+\frac{23}{5}=0$$

გამოაკელით \frac{23}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{47}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{23}{47}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{23}{47}-ით y აქ: x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{5}-ზე -\frac{23}{47} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

მიუმატეთ \frac{2}{5} -\frac{69}{235}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{5}{47}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

იმისათვის, რომ 5x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y+4\left(-2\right)=0,5\times 4x+5\times 7y+5\times 3=0$$

გაამარტივეთ.

$$20x-12y-8=0,20x+35y+15=0$$

გამოაკელით 20x+35y+15=0 20x-12y-8=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$20x-20x-12y-35y-8-15=0$$

მიუმატეთ 20x -20x-ს. პირობები 20x და -20x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-12y-35y-8-15=0$$

მიუმატეთ -12y -35y-ს.

$$-47y-8-15=0$$

მიუმატეთ -8 -15-ს.

$$-47y-23=0$$

მიუმატეთ 23 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-47y=23$$

ორივე მხარე გაყავით -47-ზე.

$$y=-\frac{23}{47}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{23}{47}-ით y აქ: 4x+7y+3=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)+3=0$$

გაამრავლეთ 7-ზე -\frac{23}{47}.

$$4x-\frac{161}{47}+3=0$$

მიუმატეთ -\frac{161}{47} 3-ს.

$$4x-\frac{20}{47}=0$$

მიუმატეთ \frac{20}{47} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{20}{47}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{5}{47}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$