გადაწყვიტეთ {l}{5x-3y=1800}{6x-4y=1600}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 1800 } \\ { 6 x - 4 y = 1600 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1200$$

$$y=1400$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-3y=1800$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=3y+1800$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+1800\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 1800+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+360$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{5}+360-ით x მეორე განტოლებაში, 6x-4y=1600.

$$6\left(\frac{3}{5}y+360\right)-4y=1600$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{3y}{5}+360.

$$\frac{18}{5}y+2160-4y=1600$$

მიუმატეთ \frac{18y}{5} -4y-ს.

$$-\frac{2}{5}y+2160=1600$$

გამოაკელით 2160 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{2}{5}y=-560$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{2}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=1400$$

ჩაანაცვლეთ 1400-ით y აქ: x=\frac{3}{5}y+360. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{5}\times 1400+360$$

გაამრავლეთ \frac{3}{5}-ზე 1400.

$$x=840+360$$

მიუმატეთ 360 840-ს.

$$x=1200$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1200,y=1400$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{3}{2}\\3&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 1800-\frac{3}{2}\times 1600\\3\times 1800-\frac{5}{2}\times 1600\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\1400\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1200,y=1400$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

იმისათვის, რომ 5x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 1800,5\times 6x+5\left(-4\right)y=5\times 1600$$

გაამარტივეთ.

$$30x-18y=10800,30x-20y=8000$$

გამოაკელით 30x-20y=8000 30x-18y=10800-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$30x-30x-18y+20y=10800-8000$$

მიუმატეთ 30x -30x-ს. პირობები 30x და -30x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-18y+20y=10800-8000$$

მიუმატეთ -18y 20y-ს.

$$2y=10800-8000$$

მიუმატეთ 10800 -8000-ს.

$$2y=2800$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=1400$$

ჩაანაცვლეთ 1400-ით y აქ: 6x-4y=1600. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x-4\times 1400=1600$$

გაამრავლეთ -4-ზე 1400.

$$6x-5600=1600$$

მიუმატეთ 5600 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=7200$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=1200$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1200,y=1400$$