გადაწყვიტეთ {l}{5x-3y=10}{6y=kx-42}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 10 } \\ { 6 y = k x - 42 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{22}{k-10}$$

$$y=-\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(k-10\right)}$$

$$k\neq 10$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით kx ორივე მხარეს.

$$6y-kx=-42$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-3y=10$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=3y+10$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 3y+10.

$$x=\frac{3}{5}y+2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{5}+2-ით x მეორე განტოლებაში, \left(-k\right)x+6y=-42.

$$\left(-k\right)\left(\frac{3}{5}y+2\right)+6y=-42$$

გაამრავლეთ -k-ზე \frac{3y}{5}+2.

$$\left(-\frac{3k}{5}\right)y-2k+6y=-42$$

მიუმატეთ -\frac{3ky}{5} 6y-ს.

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y-2k=-42$$

მიუმატეთ 2k განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y=2k-42$$

ორივე მხარე გაყავით -\frac{3k}{5}+6-ზე.

$$y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)}-ით y აქ: x=\frac{3}{5}y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}+2$$

გაამრავლეთ \frac{3}{5}-ზე \frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)}.

$$x=\frac{2\left(k-21\right)}{10-k}+2$$

მიუმატეთ 2 \frac{2\left(-21+k\right)}{-k+10}-ს.

$$x=-\frac{22}{10-k}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{22}{10-k},y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით kx ორივე მხარეს.

$$6y-kx=-42$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\\-\frac{-k}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&\frac{5}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}&\frac{1}{10-k}\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}&\frac{5}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}\times 10+\frac{1}{10-k}\left(-42\right)\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}\times 10+\frac{5}{3\left(10-k\right)}\left(-42\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{10-k}\\-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{22}{10-k},y=-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით kx ორივე მხარეს.

$$6y-kx=-42$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

იმისათვის, რომ 5x და -kx ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -k-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$\left(-k\right)\times 5x+\left(-k\right)\left(-3\right)y=\left(-k\right)\times 10,5\left(-k\right)x+5\times 6y=5\left(-42\right)$$

გაამარტივეთ.

$$\left(-5k\right)x+3ky=-10k,\left(-5k\right)x+30y=-210$$

გამოაკელით \left(-5k\right)x+30y=-210 \left(-5k\right)x+3ky=-10k-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\left(-5k\right)x+5kx+3ky-30y=-10k+210$$

მიუმატეთ -5kx 5kx-ს. პირობები -5kx და 5kx გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3ky-30y=-10k+210$$

მიუმატეთ 3ky -30y-ს.

$$\left(3k-30\right)y=-10k+210$$

მიუმატეთ -10k 210-ს.

$$\left(3k-30\right)y=210-10k$$

ორივე მხარე გაყავით -30+3k-ზე.

$$y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)}-ით y აქ: \left(-k\right)x+6y=-42. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\left(-k\right)x+6\times \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}=-42$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)}.

$$\left(-k\right)x+\frac{20\left(21-k\right)}{k-10}=-42$$

გამოაკელით \frac{20\left(21-k\right)}{-10+k} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-k\right)x=-\frac{22k}{k-10}$$

ორივე მხარე გაყავით -k-ზე.

$$x=\frac{22}{k-10}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{22}{k-10},y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$