გადაწყვიტეთ {l}{5x-3y=1}{2x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-3y=1,2x-3y=-5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-3y=1$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=3y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 3y+1.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{1}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y+1}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-3y=-5.

$$2\left(\frac{3}{5}y+\frac{1}{5}\right)-3y=-5$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{3y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{2}{5}-3y=-5$$

მიუმატეთ \frac{6y}{5} -3y-ს.

$$-\frac{9}{5}y+\frac{2}{5}=-5$$

გამოაკელით \frac{2}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{9}{5}y=-\frac{27}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{9}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=\frac{3}{5}y+\frac{1}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{5}\times 3+\frac{1}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{5}-ზე 3.

$$x=\frac{9+1}{5}$$

მიუმატეთ \frac{1}{5} \frac{9}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-3y=1,2x-3y=-5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{5\left(-3\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\\\frac{2}{9}-\frac{5}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-3y=1,2x-3y=-5$$

გამოაკელით 2x-3y=-5 5x-3y=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$5x-2x-3y+3y=1+5$$

მიუმატეთ -3y 3y-ს. პირობები -3y და 3y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5x-2x=1+5$$

მიუმატეთ 5x -2x-ს.

$$3x=1+5$$

მიუმატეთ 1 5-ს.

$$3x=6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x აქ: 2x-3y=-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$2\times 2-3y=-5$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$4-3y=-5$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=-9$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$