გადაწყვიტეთ {l}{5x=4y-2}{5y+1=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 4 y - 2 } \\ { 5 y + 1 = x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$5x-4y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$5y+1-x=0$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$5y-x=-1$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-4y=-2$$

მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=4y-2$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 4y-2.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4y-2}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, -x+5y=-1.

$$-\left(\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}\right)+5y=-1$$

გაამრავლეთ -1-ზე \frac{4y-2}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{2}{5}+5y=-1$$

მიუმატეთ -\frac{4y}{5} 5y-ს.

$$\frac{21}{5}y+\frac{2}{5}=-1$$

გამოაკელით \frac{2}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{21}{5}y=-\frac{7}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{21}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{3}-ით y აქ: x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{4}{5}-ზე -\frac{1}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{4}{15}-\frac{2}{5}$$

მიუმატეთ -\frac{2}{5} -\frac{4}{15}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$5x-4y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$5y+1-x=0$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$5y-x=-1$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{4}{21}\\\frac{1}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-2\right)+\frac{4}{21}\left(-1\right)\\\frac{1}{21}\left(-2\right)+\frac{5}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$5x-4y=-2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$5y+1-x=0$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$5y-x=-1$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

იმისათვის, რომ 5x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$-5x-\left(-4y\right)=-\left(-2\right),5\left(-1\right)x+5\times 5y=5\left(-1\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-5x+4y=2,-5x+25y=-5$$

გამოაკელით -5x+25y=-5 -5x+4y=2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-5x+5x+4y-25y=2+5$$

მიუმატეთ -5x 5x-ს. პირობები -5x და 5x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y-25y=2+5$$

მიუმატეთ 4y -25y-ს.

$$-21y=2+5$$

მიუმატეთ 2 5-ს.

$$-21y=7$$

ორივე მხარე გაყავით -21-ზე.

$$y=-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{3}-ით y აქ: -x+5y=-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$$

გაამრავლეთ 5-ზე -\frac{1}{3}.

$$-x-\frac{5}{3}=-1$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=\frac{2}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$