გადაწყვიტეთ {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+y=9$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-y+9$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+9}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

გაამრავლეთ 10-ზე \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

მიუმატეთ -2y -7y-ს.

$$-9y+18=-18$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9y=-36$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

მიუმატეთ \frac{9}{5} -\frac{4}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

იმისათვის, რომ 5x და 10x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 10-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

გაამარტივეთ.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

გამოაკელით 50x-35y=-90 50x+10y=90-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

მიუმატეთ 50x -50x-ს. პირობები 50x და -50x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10y+35y=90+90$$

მიუმატეთ 10y 35y-ს.

$$45y=90+90$$

მიუმატეთ 90 90-ს.

$$45y=180$$

ორივე მხარე გაყავით 45-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: 10x-7y=-18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$10x-7\times 4=-18$$

გაამრავლეთ -7-ზე 4.

$$10x-28=-18$$

მიუმატეთ 28 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x=10$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=4$$