გადაწყვიტეთ {l}{5x+7y=35}{6x-8y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 35 } \\ { 6 x - 8 y = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{315}{82} = 3\frac{69}{82} \approx 3.841463415$$

$$y = \frac{185}{82} = 2\frac{21}{82} \approx 2.256097561$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+7y=35,6x-8y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+7y=35$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-7y+35$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+35\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -7y+35.

$$x=-\frac{7}{5}y+7$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7y}{5}+7-ით x მეორე განტოლებაში, 6x-8y=5.

$$6\left(-\frac{7}{5}y+7\right)-8y=5$$

გაამრავლეთ 6-ზე -\frac{7y}{5}+7.

$$-\frac{42}{5}y+42-8y=5$$

მიუმატეთ -\frac{42y}{5} -8y-ს.

$$-\frac{82}{5}y+42=5$$

გამოაკელით 42 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{82}{5}y=-37$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{82}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{185}{82}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{185}{82}-ით y აქ: x=-\frac{7}{5}y+7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{7}{5}\times \frac{185}{82}+7$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{5}-ზე \frac{185}{82} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{259}{82}+7$$

მიუმატეთ 7 -\frac{259}{82}-ს.

$$x=\frac{315}{82}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{315}{82},y=\frac{185}{82}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+7y=35,6x-8y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\6&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&7\\6&-8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\6&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\6&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\6&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\6&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\6&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5\left(-8\right)-7\times 6}&-\frac{7}{5\left(-8\right)-7\times 6}\\-\frac{6}{5\left(-8\right)-7\times 6}&\frac{5}{5\left(-8\right)-7\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{41}&\frac{7}{82}\\\frac{3}{41}&-\frac{5}{82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{41}\times 35+\frac{7}{82}\times 5\\\frac{3}{41}\times 35-\frac{5}{82}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{315}{82}\\\frac{185}{82}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{315}{82},y=\frac{185}{82}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+7y=35,6x-8y=5$$

იმისათვის, რომ 5x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$6\times 5x+6\times 7y=6\times 35,5\times 6x+5\left(-8\right)y=5\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$30x+42y=210,30x-40y=25$$

გამოაკელით 30x-40y=25 30x+42y=210-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$30x-30x+42y+40y=210-25$$

მიუმატეთ 30x -30x-ს. პირობები 30x და -30x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$42y+40y=210-25$$

მიუმატეთ 42y 40y-ს.

$$82y=210-25$$

მიუმატეთ 210 -25-ს.

$$82y=185$$

ორივე მხარე გაყავით 82-ზე.

$$y=\frac{185}{82}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{185}{82}-ით y აქ: 6x-8y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x-8\times \frac{185}{82}=5$$

გაამრავლეთ -8-ზე \frac{185}{82}.

$$6x-\frac{740}{41}=5$$

მიუმატეთ \frac{740}{41} განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=\frac{945}{41}$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{315}{82}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{315}{82},y=\frac{185}{82}$$