გადაწყვიტეთ {l}{5x+6y=1}{5x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 1 } \\ { 5 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

$$y=0$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+6y=1,5x+y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+6y=1$$

გამოაკელით 6y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-6y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -6y+1.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{1}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-6y+1}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x+y=1.

$$5\left(-\frac{6}{5}y+\frac{1}{5}\right)+y=1$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{-6y+1}{5}.

$$-6y+1+y=1$$

მიუმატეთ -6y y-ს.

$$-5y+1=1$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5y=0$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: x=-\frac{6}{5}y+\frac{1}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{5},y=0$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+6y=1,5x+y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-6\times 5}&-\frac{6}{5-6\times 5}\\-\frac{5}{5-6\times 5}&\frac{5}{5-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{6}{25}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1+6}{25}\\\frac{1-1}{5}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\\0\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1}{5},y=0$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+6y=1,5x+y=1$$

გამოაკელით 5x+y=1 5x+6y=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$5x-5x+6y-y=1-1$$

მიუმატეთ 5x -5x-ს. პირობები 5x და -5x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y-y=1-1$$

მიუმატეთ 6y -y-ს.

$$5y=1-1$$

მიუმატეთ 1 -1-ს.

$$5y=0$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: 5x+y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{5},y=0$$