გადაწყვიტეთ {l}{5x+2y=34}{7x-3y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 34 } \\ { 7 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4$$

$$y=7$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+2y=34$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-2y+34$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+34\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -2y+34.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y+34}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 7x-3y=7.

$$7\left(-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}\right)-3y=7$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{-2y+34}{5}.

$$-\frac{14}{5}y+\frac{238}{5}-3y=7$$

მიუმატეთ -\frac{14y}{5} -3y-ს.

$$-\frac{29}{5}y+\frac{238}{5}=7$$

გამოაკელით \frac{238}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{29}{5}y=-\frac{203}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{29}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7+\frac{34}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{5}-ზე 7.

$$x=\frac{-14+34}{5}$$

მიუმატეთ \frac{34}{5} -\frac{14}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=7$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 7}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{5\left(-3\right)-2\times 7}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\times 34+\frac{2}{29}\times 7\\\frac{7}{29}\times 34-\frac{5}{29}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=4,y=7$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

იმისათვის, რომ 5x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$7\times 5x+7\times 2y=7\times 34,5\times 7x+5\left(-3\right)y=5\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$35x+14y=238,35x-15y=35$$

გამოაკელით 35x-15y=35 35x+14y=238-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$35x-35x+14y+15y=238-35$$

მიუმატეთ 35x -35x-ს. პირობები 35x და -35x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$14y+15y=238-35$$

მიუმატეთ 14y 15y-ს.

$$29y=238-35$$

მიუმატეთ 238 -35-ს.

$$29y=203$$

ორივე მხარე გაყავით 29-ზე.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: 7x-3y=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x-3\times 7=7$$

გაამრავლეთ -3-ზე 7.

$$7x-21=7$$

მიუმატეთ 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=28$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=7$$