გადაწყვიტეთ {l}{5u+x=-10}{3u+3x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + x = - 10 } \\ { 3 u + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა u, x-ისთვის

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$u = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი u-ისთვის, u-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5u+x=-10$$

გამოაკელით x განტოლების ორივე მხარეს.

$$5u=-x-10$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$u=\frac{1}{5}\left(-x-10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -x-10.

$$u=-\frac{1}{5}x-2$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{x}{5}-2-ით u მეორე განტოლებაში, 3u+3x=0.

$$3\left(-\frac{1}{5}x-2\right)+3x=0$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{x}{5}-2.

$$-\frac{3}{5}x-6+3x=0$$

მიუმატეთ -\frac{3x}{5} 3x-ს.

$$\frac{12}{5}x-6=0$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{12}{5}x=6$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{12}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{2}-ით x აქ: u=-\frac{1}{5}x-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ u.

$$u=-\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}-2$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე \frac{5}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$u=-\frac{1}{2}-2$$

მიუმატეთ -2 -\frac{1}{2}-ს.

$$u=-\frac{5}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3}&-\frac{1}{5\times 3-3}\\-\frac{3}{5\times 3-3}&\frac{5}{5\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - u და x.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

იმისათვის, რომ 5u და 3u ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$3\times 5u+3x=3\left(-10\right),5\times 3u+5\times 3x=0$$

გაამარტივეთ.

$$15u+3x=-30,15u+15x=0$$

გამოაკელით 15u+15x=0 15u+3x=-30-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15u-15u+3x-15x=-30$$

მიუმატეთ 15u -15u-ს. პირობები 15u და -15u გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3x-15x=-30$$

მიუმატეთ 3x -15x-ს.

$$-12x=-30$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$x=\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{2}-ით x აქ: 3u+3x=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ u.

$$3u+3\times \frac{5}{2}=0$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{5}{2}.

$$3u+\frac{15}{2}=0$$

გამოაკელით \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3u=-\frac{15}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$u=-\frac{5}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$