გადაწყვიტეთ {l}{5m+6n=-32}{10m+5n=-50}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 m + 6 n = - 32 } \\ { 10 m + 5 n = - 50 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა m, n-ისთვის

$$m=-4$$

$$n=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5m+6n=-32,10m+5n=-50$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი m-ისთვის, m-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5m+6n=-32$$

გამოაკელით 6n განტოლების ორივე მხარეს.

$$5m=-6n-32$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$m=\frac{1}{5}\left(-6n-32\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -6n-32.

$$m=-\frac{6}{5}n-\frac{32}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-6n-32}{5}-ით m მეორე განტოლებაში, 10m+5n=-50.

$$10\left(-\frac{6}{5}n-\frac{32}{5}\right)+5n=-50$$

გაამრავლეთ 10-ზე \frac{-6n-32}{5}.

$$-12n-64+5n=-50$$

მიუმატეთ -12n 5n-ს.

$$-7n-64=-50$$

მიუმატეთ 64 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7n=14$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$n=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით n აქ: m=-\frac{6}{5}n-\frac{32}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m=-\frac{6}{5}\left(-2\right)-\frac{32}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{6}{5}-ზე -2.

$$m=\frac{12-32}{5}$$

მიუმატეთ -\frac{32}{5} \frac{12}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$m=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=-4,n=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5m+6n=-32,10m+5n=-50$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-32\\-50\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-32\\-50\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-32\\-50\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-32\\-50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-6\times 10}&-\frac{6}{5\times 5-6\times 10}\\-\frac{10}{5\times 5-6\times 10}&\frac{5}{5\times 5-6\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-32\\-50\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{6}{35}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-32\\-50\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-32\right)+\frac{6}{35}\left(-50\right)\\\frac{2}{7}\left(-32\right)-\frac{1}{7}\left(-50\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - m და n.

$$m=-4,n=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5m+6n=-32,10m+5n=-50$$

იმისათვის, რომ 5m და 10m ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 10-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$10\times 5m+10\times 6n=10\left(-32\right),5\times 10m+5\times 5n=5\left(-50\right)$$

გაამარტივეთ.

$$50m+60n=-320,50m+25n=-250$$

გამოაკელით 50m+25n=-250 50m+60n=-320-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$50m-50m+60n-25n=-320+250$$

მიუმატეთ 50m -50m-ს. პირობები 50m და -50m გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$60n-25n=-320+250$$

მიუმატეთ 60n -25n-ს.

$$35n=-320+250$$

მიუმატეთ -320 250-ს.

$$35n=-70$$

ორივე მხარე გაყავით 35-ზე.

$$n=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით n აქ: 10m+5n=-50. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$10m+5\left(-2\right)=-50$$

გაამრავლეთ 5-ზე -2.

$$10m-10=-50$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10m=-40$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$m=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=-4,n=-2$$