გადაწყვიტეთ {l}{5b+c=8}{4b+4c=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 b + c = 8 } \\ { 4 b + 4 c = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა b, c-ისთვის

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$c=\frac{1}{2}=0.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი b-ისთვის, b-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5b+c=8$$

გამოაკელით c განტოლების ორივე მხარეს.

$$5b=-c+8$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$b=\frac{1}{5}\left(-c+8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -c+8.

$$b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-c+8}{5}-ით b მეორე განტოლებაში, 4b+4c=8.

$$4\left(-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}\right)+4c=8$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-c+8}{5}.

$$-\frac{4}{5}c+\frac{32}{5}+4c=8$$

მიუმატეთ -\frac{4c}{5} 4c-ს.

$$\frac{16}{5}c+\frac{32}{5}=8$$

გამოაკელით \frac{32}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{16}{5}c=\frac{8}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{16}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$c=\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{2}-ით c აქ: b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ b.

$$b=-\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{8}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე \frac{1}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$b=-\frac{1}{10}+\frac{8}{5}$$

მიუმატეთ \frac{8}{5} -\frac{1}{10}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$b=\frac{3}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-4}&-\frac{1}{5\times 4-4}\\-\frac{4}{5\times 4-4}&\frac{5}{5\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{16}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{5}{16}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - b და c.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

იმისათვის, რომ 5b და 4b ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$4\times 5b+4c=4\times 8,5\times 4b+5\times 4c=5\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$20b+4c=32,20b+20c=40$$

გამოაკელით 20b+20c=40 20b+4c=32-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$20b-20b+4c-20c=32-40$$

მიუმატეთ 20b -20b-ს. პირობები 20b და -20b გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4c-20c=32-40$$

მიუმატეთ 4c -20c-ს.

$$-16c=32-40$$

მიუმატეთ 32 -40-ს.

$$-16c=-8$$

ორივე მხარე გაყავით -16-ზე.

$$c=\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{2}-ით c აქ: 4b+4c=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ b.

$$4b+4\times \frac{1}{2}=8$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{1}{2}.

$$4b+2=8$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4b=6$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$b=\frac{3}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$