გადაწყვიტეთ {l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-2$$

$$y=0$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 x+2-ზე.

$$5x+10=4y$$

გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$5x+10-4y=0$$

გამოაკელით 10 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$5x-4y=-10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y-4-ზე.

$$3y-12=6x$$

გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$3y-12-6x=0$$

დაამატეთ 12 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$3y-6x=12$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-4y=-10$$

მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=4y-10$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 4y-10.

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4y}{5}-2-ით x მეორე განტოლებაში, -6x+3y=12.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

გაამრავლეთ -6-ზე \frac{4y}{5}-2.

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

მიუმატეთ -\frac{24y}{5} 3y-ს.

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{9}{5}y=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{9}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: x=\frac{4}{5}y-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=0$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 x+2-ზე.

$$5x+10=4y$$

გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$5x+10-4y=0$$

გამოაკელით 10 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$5x-4y=-10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y-4-ზე.

$$3y-12=6x$$

გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$3y-12-6x=0$$

დაამატეთ 12 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$3y-6x=12$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-2,y=0$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 x+2-ზე.

$$5x+10=4y$$

გამოაკელით 4y ორივე მხარეს.

$$5x+10-4y=0$$

გამოაკელით 10 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$5x-4y=-10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 y-4-ზე.

$$3y-12=6x$$

გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$3y-12-6x=0$$

დაამატეთ 12 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$3y-6x=12$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

იმისათვის, რომ 5x და -6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

გაამარტივეთ.

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

გამოაკელით -30x+15y=60 -30x+24y=60-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

მიუმატეთ -30x 30x-ს. პირობები -30x და 30x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$24y-15y=60-60$$

მიუმატეთ 24y -15y-ს.

$$9y=60-60$$

მიუმატეთ 60 -60-ს.

$$9y=0$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: -6x+3y=12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-6x=12$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=0$$