გადაწყვიტეთ {l}{5(4x-y)=0}{4(x+3)=13y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( 4 x - y ) = 0 } \\ { 4 ( x + 3 ) = 13 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაყავით 5-ზე. თუ ნულს გავყოფთ ნებისმიერ არანულოვან რიცხვზე, მივიღებთ ნულს.

$$4x-y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+3-ზე.

$$4x+12=13y$$

გამოაკელით 13y ორივე მხარეს.

$$4x+12-13y=0$$

გამოაკელით 12 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$4x-13y=-12$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-y=0,4x-13y=-12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-y=0$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=y$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}y$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x-13y=-12.

$$4\times \frac{1}{4}y-13y=-12$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{y}{4}.

$$y-13y=-12$$

მიუმატეთ y -13y-ს.

$$-12y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=\frac{1}{4}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{4},y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაყავით 5-ზე. თუ ნულს გავყოფთ ნებისმიერ არანულოვან რიცხვზე, მივიღებთ ნულს.

$$4x-y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+3-ზე.

$$4x+12=13y$$

გამოაკელით 13y ორივე მხარეს.

$$4x+12-13y=0$$

გამოაკელით 12 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$4x-13y=-12$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-y=0,4x-13y=-12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-1\\4&-13\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{4\left(-13\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{4\left(-13\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{4\left(-13\right)-\left(-4\right)}&\frac{4}{4\left(-13\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{48}&-\frac{1}{48}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{48}\left(-12\right)\\-\frac{1}{12}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1}{4},y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაყავით 5-ზე. თუ ნულს გავყოფთ ნებისმიერ არანულოვან რიცხვზე, მივიღებთ ნულს.

$$4x-y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+3-ზე.

$$4x+12=13y$$

გამოაკელით 13y ორივე მხარეს.

$$4x+12-13y=0$$

გამოაკელით 12 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$4x-13y=-12$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-y=0,4x-13y=-12$$

გამოაკელით 4x-13y=-12 4x-y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x-y+13y=12$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-y+13y=12$$

მიუმატეთ -y 13y-ს.

$$12y=12$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 4x-13y=-12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x-13=-12$$

მიუმატეთ 13 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{4},y=1$$