გადაწყვიტეთ {l}{45+.25x=y}{35+.30x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 45 + .25 x = y } \\ { 35 + .30 x = y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=200$$

$$y=95$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$45+0.25x-y=0$$

გამოაკელით 45 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$0.25x-y=-45$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$35+0.3x-y=0$$

გამოაკელით 35 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$0.3x-y=-35$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$0.25x-y=-45$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.25x=y-45$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$x=4\left(y-45\right)$$

გაამრავლეთ 4-ზე y-45.

$$x=4y-180$$

ჩაანაცვლეთ -180+4y-ით x მეორე განტოლებაში, 0.3x-y=-35.

$$0.3\left(4y-180\right)-y=-35$$

გაამრავლეთ 0.3-ზე -180+4y.

$$1.2y-54-y=-35$$

მიუმატეთ \frac{6y}{5} -y-ს.

$$0.2y-54=-35$$

მიუმატეთ 54 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.2y=19$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$y=95$$

ჩაანაცვლეთ 95-ით y აქ: x=4y-180. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=4\times 95-180$$

გაამრავლეთ 4-ზე 95.

$$x=380-180$$

მიუმატეთ -180 380-ს.

$$x=200$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=200,y=95$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$45+0.25x-y=0$$

გამოაკელით 45 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$0.25x-y=-45$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$35+0.3x-y=0$$

გამოაკელით 35 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$0.3x-y=-35$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&-\frac{-1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\\-\frac{0.3}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&\frac{0.25}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20&20\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\left(-45\right)+20\left(-35\right)\\-6\left(-45\right)+5\left(-35\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\95\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=200,y=95$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$45+0.25x-y=0$$

გამოაკელით 45 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$0.25x-y=-45$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$35+0.3x-y=0$$

გამოაკელით 35 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$0.3x-y=-35$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

გამოაკელით 0.3x-y=-35 0.25x-y=-45-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$0.25x-0.3x-y+y=-45+35$$

მიუმატეთ -y y-ს. პირობები -y და y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$0.25x-0.3x=-45+35$$

მიუმატეთ \frac{x}{4} -\frac{3x}{10}-ს.

$$-0.05x=-45+35$$

მიუმატეთ -45 35-ს.

$$-0.05x=-10$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -20-ზე.

$$x=200$$

ჩაანაცვლეთ 200-ით x აქ: 0.3x-y=-35. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$0.3\times 200-y=-35$$

გაამრავლეთ 0.3-ზე 200.

$$60-y=-35$$

გამოაკელით 60 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=-95$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=95$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=200,y=95$$