გადაწყვიტეთ {l}{40x+30y=500}{60x+15y=60}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 60 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{19}{4} = -4\frac{3}{4} = -4.75$$

$$y=23$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$40x+30y=500$$

გამოაკელით 30y განტოლების ორივე მხარეს.

$$40x=-30y+500$$

ორივე მხარე გაყავით 40-ზე.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{40}-ზე -30y+500.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 60x+15y=60.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=60$$

გაამრავლეთ 60-ზე -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}.

$$-45y+750+15y=60$$

მიუმატეთ -45y 15y-ს.

$$-30y+750=60$$

გამოაკელით 750 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-30y=-690$$

ორივე მხარე გაყავით -30-ზე.

$$y=23$$

ჩაანაცვლეთ 23-ით y აქ: x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{4}\times 23+\frac{25}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{4}-ზე 23.

$$x=-\frac{69}{4}+\frac{25}{2}$$

მიუმატეთ \frac{25}{2} -\frac{69}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{19}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 60\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 60\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{4}\\23\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

იმისათვის, რომ 40x და 60x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 60-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 40-ზე.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 60$$

გაამარტივეთ.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=2400$$

გამოაკელით 2400x+600y=2400 2400x+1800y=30000-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-2400$$

მიუმატეთ 2400x -2400x-ს. პირობები 2400x და -2400x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$1800y-600y=30000-2400$$

მიუმატეთ 1800y -600y-ს.

$$1200y=30000-2400$$

მიუმატეთ 30000 -2400-ს.

$$1200y=27600$$

ორივე მხარე გაყავით 1200-ზე.

$$y=23$$

ჩაანაცვლეთ 23-ით y აქ: 60x+15y=60. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$60x+15\times 23=60$$

გაამრავლეთ 15-ზე 23.

$$60x+345=60$$

გამოაკელით 345 განტოლების ორივე მხარეს.

$$60x=-285$$

ორივე მხარე გაყავით 60-ზე.

$$x=-\frac{19}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$