გადაწყვიტეთ {l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=6$$

$$y=-10$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 4y ორივე მხარეს.

$$x+4y=-34$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4y-5x=-70$$

მიუმატეთ 5x განტოლების ორივე მხარეს.

$$4y=5x-70$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -70+5x.

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}-ით y მეორე განტოლებაში, 4y+x=-34.

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}.

$$5x-70+x=-34$$

მიუმატეთ 5x x-ს.

$$6x-70=-34$$

მიუმატეთ 70 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=36$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით x აქ: y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{5}{4}-ზე 6.

$$y=\frac{15-35}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{35}{2} \frac{15}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=-10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-10,x=6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 4y ორივე მხარეს.

$$x+4y=-34$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-10,x=6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 4y ორივე მხარეს.

$$x+4y=-34$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

გამოაკელით 4y+x=-34 4y-5x=-70-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

მიუმატეთ 4y -4y-ს. პირობები 4y და -4y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-5x-x=-70+34$$

მიუმატეთ -5x -x-ს.

$$-6x=-70+34$$

მიუმატეთ -70 34-ს.

$$-6x=-36$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$x=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით x აქ: 4y+x=-34. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$4y+6=-34$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4y=-40$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=-10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-10,x=6$$