გადაწყვიტეთ {l}{4x-y=5}{3x+3y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 5 } \\ { 3 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=7$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-y=5,3x+3y=30$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-y=5$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5+y}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+3y=30.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+3y=30$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{5+y}{4}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}+3y=30$$

მიუმატეთ \frac{3y}{4} 3y-ს.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{4}=30$$

გამოაკელით \frac{15}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{15}{4}y=\frac{105}{4}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{15}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{4}\times 7+\frac{5}{4}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე 7.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} \frac{7}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=7$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-y=5,3x+3y=30$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 3-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 3-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{15}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{15}\times 30\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{15}\times 30\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=7$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-y=5,3x+3y=30$$

იმისათვის, რომ 4x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 5,4\times 3x+4\times 3y=4\times 30$$

გაამარტივეთ.

$$12x-3y=15,12x+12y=120$$

გამოაკელით 12x+12y=120 12x-3y=15-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x-3y-12y=15-120$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-12y=15-120$$

მიუმატეთ -3y -12y-ს.

$$-15y=15-120$$

მიუმატეთ 15 -120-ს.

$$-15y=-105$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: 3x+3y=30. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+3\times 7=30$$

გაამრავლეთ 3-ზე 7.

$$3x+21=30$$

გამოაკელით 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=7$$