გადაწყვიტეთ {l}{4x-y=22}{3x+4y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 22 } \\ { 3 x + 4 y = 26 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=6$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-y=22,3x+4y=26$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-y=22$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=y+22$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+22\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე y+22.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{4}+\frac{11}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+4y=26.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{11}{2}\right)+4y=26$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{y}{4}+\frac{11}{2}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{33}{2}+4y=26$$

მიუმატეთ \frac{3y}{4} 4y-ს.

$$\frac{19}{4}y+\frac{33}{2}=26$$

გამოაკელით \frac{33}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{19}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{4}\times 2+\frac{11}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე 2.

$$x=\frac{1+11}{2}$$

მიუმატეთ \frac{11}{2} \frac{1}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-y=22,3x+4y=26$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\times 22+\frac{1}{19}\times 26\\-\frac{3}{19}\times 22+\frac{4}{19}\times 26\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=6,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-y=22,3x+4y=26$$

იმისათვის, რომ 4x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 22,4\times 3x+4\times 4y=4\times 26$$

გაამარტივეთ.

$$12x-3y=66,12x+16y=104$$

გამოაკელით 12x+16y=104 12x-3y=66-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x-3y-16y=66-104$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-16y=66-104$$

მიუმატეთ -3y -16y-ს.

$$-19y=66-104$$

მიუმატეთ 66 -104-ს.

$$-19y=-38$$

ორივე მხარე გაყავით -19-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: 3x+4y=26. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+4\times 2=26$$

გაამრავლეთ 4-ზე 2.

$$3x+8=26$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=18$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=2$$