გადაწყვიტეთ {l}{4x-y=1}{2x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 1 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-y=1$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე y+1.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1+y}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+y=4.

$$2\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=4$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{1+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

მიუმატეთ \frac{y}{2} y-ს.

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{7}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7}{3}-ით y აქ: x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{4}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე \frac{7}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} \frac{7}{12}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{5}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

იმისათვის, რომ 4x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$2\times 4x+2\left(-1\right)y=2,4\times 2x+4y=4\times 4$$

გაამარტივეთ.

$$8x-2y=2,8x+4y=16$$

გამოაკელით 8x+4y=16 8x-2y=2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x-2y-4y=2-16$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2y-4y=2-16$$

მიუმატეთ -2y -4y-ს.

$$-6y=2-16$$

მიუმატეთ 2 -16-ს.

$$-6y=-14$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$y=\frac{7}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7}{3}-ით y აქ: 2x+y=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+\frac{7}{3}=4$$

გამოაკელით \frac{7}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{5}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{5}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$