გადაწყვიტეთ {l}{4x-7y=23}{6x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = 23 } \\ { 6 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-7y=23$$

მიუმატეთ 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=7y+23$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+23\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე 7y+23.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7y+23}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 6x+2y=-3.

$$6\left(\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}\right)+2y=-3$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{7y+23}{4}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{69}{2}+2y=-3$$

მიუმატეთ \frac{21y}{2} 2y-ს.

$$\frac{25}{2}y+\frac{69}{2}=-3$$

გამოაკელით \frac{69}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{25}{2}y=-\frac{75}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{25}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{7}{4}\left(-3\right)+\frac{23}{4}$$

გაამრავლეთ \frac{7}{4}-ზე -3.

$$x=\frac{-21+23}{4}$$

მიუმატეთ \frac{23}{4} -\frac{21}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{7}{50}\\-\frac{3}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 23+\frac{7}{50}\left(-3\right)\\-\frac{3}{25}\times 23+\frac{2}{25}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

იმისათვის, რომ 4x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$6\times 4x+6\left(-7\right)y=6\times 23,4\times 6x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

გაამარტივეთ.

$$24x-42y=138,24x+8y=-12$$

გამოაკელით 24x+8y=-12 24x-42y=138-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$24x-24x-42y-8y=138+12$$

მიუმატეთ 24x -24x-ს. პირობები 24x და -24x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-42y-8y=138+12$$

მიუმატეთ -42y -8y-ს.

$$-50y=138+12$$

მიუმატეთ 138 12-ს.

$$-50y=150$$

ორივე მხარე გაყავით -50-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: 6x+2y=-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x+2\left(-3\right)=-3$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$6x-6=-3$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=3$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$