გადაწყვიტეთ {l}{4x-3y=21}{x=-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 21 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$x+y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-3y=21$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=3y+21$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+21\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე 21+3y.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{21+3y}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=0.

$$\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+y=0$$

მიუმატეთ \frac{3y}{4} y-ს.

$$\frac{7}{4}y+\frac{21}{4}=0$$

გამოაკელით \frac{21}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{21}{4}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{7}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-3\right)+\frac{21}{4}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{4}-ზე -3.

$$x=\frac{-9+21}{4}$$

მიუმატეთ \frac{21}{4} -\frac{9}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$x+y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 21\\-\frac{1}{7}\times 21\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$x+y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

იმისათვის, რომ 4x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$4x-3y=21,4x+4y=0$$

გამოაკელით 4x+4y=0 4x-3y=21-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x-3y-4y=21$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-4y=21$$

მიუმატეთ -3y -4y-ს.

$$-7y=21$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: x+y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-3=0$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-3$$