გადაწყვიტეთ {l}{4x-3y=1}{5x+3y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-3y=1$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=3y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე 3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y+1}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x+3y=-10.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+3y=-10$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{3y+1}{4}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+3y=-10$$

მიუმატეთ \frac{15y}{4} 3y-ს.

$$\frac{27}{4}y+\frac{5}{4}=-10$$

გამოაკელით \frac{5}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{27}{4}y=-\frac{45}{4}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{27}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5}{3}-ით y აქ: x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-\frac{5}{3}\right)+\frac{1}{4}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{4}-ზე -\frac{5}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{-5+1}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} -\frac{5}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{5}{27}&\frac{4}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\\-\frac{5}{27}+\frac{4}{27}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

იმისათვის, რომ 4x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4\times 3y=4\left(-10\right)$$

გაამარტივეთ.

$$20x-15y=5,20x+12y=-40$$

გამოაკელით 20x+12y=-40 20x-15y=5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$20x-20x-15y-12y=5+40$$

მიუმატეთ 20x -20x-ს. პირობები 20x და -20x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-15y-12y=5+40$$

მიუმატეთ -15y -12y-ს.

$$-27y=5+40$$

მიუმატეთ 5 40-ს.

$$-27y=45$$

ორივე მხარე გაყავით -27-ზე.

$$y=-\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5}{3}-ით y აქ: 5x+3y=-10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x+3\left(-\frac{5}{3}\right)=-10$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{5}{3}.

$$5x-5=-10$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$