გადაწყვიტეთ {l}{4x=3y}{y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 3 y } \\ { y + 3 = x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-9$$

$$y=-12$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$4x-3y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y+3-x=0$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$y-x=-3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-3y=0$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=3y$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\times 3y$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე 3y.

$$x=\frac{3}{4}y$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, -x+y=-3.

$$-\frac{3}{4}y+y=-3$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{4} y-ს.

$$\frac{1}{4}y=-3$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$y=-12$$

ჩაანაცვლეთ -12-ით y აქ: x=\frac{3}{4}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{3}{4}-ზე -12.

$$x=-9$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-9,y=-12$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$4x-3y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y+3-x=0$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$y-x=-3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-3\right)\\4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-9,y=-12$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$4x-3y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y+3-x=0$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$y-x=-3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

იმისათვის, რომ 4x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$-4x-\left(-3y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-4x+3y=0,-4x+4y=-12$$

გამოაკელით -4x+4y=-12 -4x+3y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-4x+4x+3y-4y=12$$

მიუმატეთ -4x 4x-ს. პირობები -4x და 4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y-4y=12$$

მიუმატეთ 3y -4y-ს.

$$-y=12$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=-12$$

ჩაანაცვლეთ -12-ით y აქ: -x+y=-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x-12=-3$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=9$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-9$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-9,y=-12$$