გადაწყვიტეთ {l}{4x+y=4}{-3x-6y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 4 } \\ { - 3 x - 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=-4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+y=4$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -y+4.

$$x=-\frac{1}{4}y+1$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{4}+1-ით x მეორე განტოლებაში, -3x-6y=18.

$$-3\left(-\frac{1}{4}y+1\right)-6y=18$$

გაამრავლეთ -3-ზე -\frac{y}{4}+1.

$$\frac{3}{4}y-3-6y=18$$

მიუმატეთ \frac{3y}{4} -6y-ს.

$$-\frac{21}{4}y-3=18$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{21}{4}y=21$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{21}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: x=-\frac{1}{4}y+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-4\right)+1$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{4}-ზე -4.

$$x=1+1$$

მიუმატეთ 1 1-ს.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{21}\\-\frac{1}{7}&-\frac{4}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{21}\times 18\\-\frac{1}{7}\times 4-\frac{4}{21}\times 18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=-4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

იმისათვის, რომ 4x და -3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$-3\times 4x-3y=-3\times 4,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 18$$

გაამარტივეთ.

$$-12x-3y=-12,-12x-24y=72$$

გამოაკელით -12x-24y=72 -12x-3y=-12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-12x+12x-3y+24y=-12-72$$

მიუმატეთ -12x 12x-ს. პირობები -12x და 12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y+24y=-12-72$$

მიუმატეთ -3y 24y-ს.

$$21y=-12-72$$

მიუმატეთ -12 -72-ს.

$$21y=-84$$

ორივე მხარე გაყავით 21-ზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: -3x-6y=18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3x-6\left(-4\right)=18$$

გაამრავლეთ -6-ზე -4.

$$-3x+24=18$$

გამოაკელით 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-4$$