გადაწყვიტეთ {l}{4x+y=20}{x+3y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 20 } \\ { x + 3 y = - 17 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=7$$

$$y=-8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+y=20,x+3y=-17$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+y=20$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-y+20$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+20\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -y+20.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{4}+5-ით x მეორე განტოლებაში, x+3y=-17.

$$-\frac{1}{4}y+5+3y=-17$$

მიუმატეთ -\frac{y}{4} 3y-ს.

$$\frac{11}{4}y+5=-17$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{4}y=-22$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{11}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-8$$

ჩაანაცვლეთ -8-ით y აქ: x=-\frac{1}{4}y+5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-8\right)+5$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{4}-ზე -8.

$$x=2+5$$

მიუმატეთ 5 2-ს.

$$x=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=7,y=-8$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+y=20,x+3y=-17$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-1}&-\frac{1}{4\times 3-1}\\-\frac{1}{4\times 3-1}&\frac{4}{4\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 20-\frac{1}{11}\left(-17\right)\\-\frac{1}{11}\times 20+\frac{4}{11}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-8\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=7,y=-8$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+y=20,x+3y=-17$$

იმისათვის, რომ 4x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$4x+y=20,4x+4\times 3y=4\left(-17\right)$$

გაამარტივეთ.

$$4x+y=20,4x+12y=-68$$

გამოაკელით 4x+12y=-68 4x+y=20-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x+y-12y=20+68$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$y-12y=20+68$$

მიუმატეთ y -12y-ს.

$$-11y=20+68$$

მიუმატეთ 20 68-ს.

$$-11y=88$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$y=-8$$

ჩაანაცვლეთ -8-ით y აქ: x+3y=-17. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+3\left(-8\right)=-17$$

გაამრავლეთ 3-ზე -8.

$$x-24=-17$$

მიუმატეთ 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=7,y=-8$$