გადაწყვიტეთ {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=45$$

$$y=-165$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+y=15$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-y+15$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -y+15.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+15}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 19x+5y=30.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

გაამრავლეთ 19-ზე \frac{-y+15}{4}.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

მიუმატეთ -\frac{19y}{4} 5y-ს.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

გამოაკელით \frac{285}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$y=-165$$

ჩაანაცვლეთ -165-ით y აქ: x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{4}-ზე -165.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

მიუმატეთ \frac{15}{4} \frac{165}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=45$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=45,y=-165$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=45,y=-165$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

იმისათვის, რომ 4x და 19x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 19-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

გაამარტივეთ.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

გამოაკელით 76x+20y=120 76x+19y=285-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

მიუმატეთ 76x -76x-ს. პირობები 76x და -76x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$19y-20y=285-120$$

მიუმატეთ 19y -20y-ს.

$$-y=285-120$$

მიუმატეთ 285 -120-ს.

$$-y=165$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=-165$$

ჩაანაცვლეთ -165-ით y აქ: 19x+5y=30. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

გაამრავლეთ 5-ზე -165.

$$19x-825=30$$

მიუმატეთ 825 განტოლების ორივე მხარეს.

$$19x=855$$

ორივე მხარე გაყავით 19-ზე.

$$x=45$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=45,y=-165$$