გადაწყვიტეთ {l}{4x+5y=8}{-x+2y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 8 } \\ { - x + 2 y = - 15 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=7$$

$$y=-4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+5y=8,-x+2y=-15$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+5y=8$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-5y+8$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -5y+8.

$$x=-\frac{5}{4}y+2$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{4}+2-ით x მეორე განტოლებაში, -x+2y=-15.

$$-\left(-\frac{5}{4}y+2\right)+2y=-15$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{5y}{4}+2.

$$\frac{5}{4}y-2+2y=-15$$

მიუმატეთ \frac{5y}{4} 2y-ს.

$$\frac{13}{4}y-2=-15$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{13}{4}y=-13$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{13}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: x=-\frac{5}{4}y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-4\right)+2$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{4}-ზე -4.

$$x=5+2$$

მიუმატეთ 2 5-ს.

$$x=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=7,y=-4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+5y=8,-x+2y=-15$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{4\times 2-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{4\times 2-5\left(-1\right)}&\frac{4}{4\times 2-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8-\frac{5}{13}\left(-15\right)\\\frac{1}{13}\times 8+\frac{4}{13}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=7,y=-4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+5y=8,-x+2y=-15$$

იმისათვის, რომ 4x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$-4x-5y=-8,4\left(-1\right)x+4\times 2y=4\left(-15\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-4x-5y=-8,-4x+8y=-60$$

გამოაკელით -4x+8y=-60 -4x-5y=-8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-4x+4x-5y-8y=-8+60$$

მიუმატეთ -4x 4x-ს. პირობები -4x და 4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-5y-8y=-8+60$$

მიუმატეთ -5y -8y-ს.

$$-13y=-8+60$$

მიუმატეთ -8 60-ს.

$$-13y=52$$

ორივე მხარე გაყავით -13-ზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: -x+2y=-15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+2\left(-4\right)=-15$$

გაამრავლეთ 2-ზე -4.

$$-x-8=-15$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-7$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=7,y=-4$$