გადაწყვიტეთ {l}{4x+5y=6}{x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{27}{23} = 1\frac{4}{23} \approx 1.173913043$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+5y=6$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-5y+6$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -5y+6.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, x+7y=3.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}+7y=3$$

მიუმატეთ -\frac{5y}{4} 7y-ს.

$$\frac{23}{4}y+\frac{3}{2}=3$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{23}{4}y=\frac{3}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{23}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{6}{23}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{6}{23}-ით y აქ: x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{6}{23}+\frac{3}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{4}-ზე \frac{6}{23} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{15}{46}+\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} -\frac{15}{46}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{27}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5}&-\frac{5}{4\times 7-5}\\-\frac{1}{4\times 7-5}&\frac{4}{4\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 6-\frac{5}{23}\times 3\\-\frac{1}{23}\times 6+\frac{4}{23}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

იმისათვის, რომ 4x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$4x+5y=6,4x+4\times 7y=4\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$4x+5y=6,4x+28y=12$$

გამოაკელით 4x+28y=12 4x+5y=6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x+5y-28y=6-12$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5y-28y=6-12$$

მიუმატეთ 5y -28y-ს.

$$-23y=6-12$$

მიუმატეთ 6 -12-ს.

$$-23y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით -23-ზე.

$$y=\frac{6}{23}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{6}{23}-ით y აქ: x+7y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+7\times \frac{6}{23}=3$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{6}{23}.

$$x+\frac{42}{23}=3$$

გამოაკელით \frac{42}{23} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{27}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$