გადაწყვიტეთ {l}{4x+3y=6}{8x+5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 6 } \\ { 8 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=0$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+3y=6,8x+5y=10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+3y=6$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-3y+6$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -3y+6.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 8x+5y=10.

$$8\left(-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}\right)+5y=10$$

გაამრავლეთ 8-ზე -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2}.

$$-6y+12+5y=10$$

მიუმატეთ -6y 5y-ს.

$$-y+12=10$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=-2$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{3}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{4}-ზე 2.

$$x=\frac{-3+3}{2}$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} -\frac{3}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+3y=6,8x+5y=10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 8}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 8}\\-\frac{8}{4\times 5-3\times 8}&\frac{4}{4\times 5-3\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\times 6+\frac{3}{4}\times 10\\2\times 6-10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=0,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+3y=6,8x+5y=10$$

იმისათვის, რომ 4x და 8x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$8\times 4x+8\times 3y=8\times 6,4\times 8x+4\times 5y=4\times 10$$

გაამარტივეთ.

$$32x+24y=48,32x+20y=40$$

გამოაკელით 32x+20y=40 32x+24y=48-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$32x-32x+24y-20y=48-40$$

მიუმატეთ 32x -32x-ს. პირობები 32x და -32x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$24y-20y=48-40$$

მიუმატეთ 24y -20y-ს.

$$4y=48-40$$

მიუმატეთ 48 -40-ს.

$$4y=8$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: 8x+5y=10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$8x+5\times 2=10$$

გაამრავლეთ 5-ზე 2.

$$8x+10=10$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=0$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=2$$