გადაწყვიტეთ {l}{4x+3y=32}{5x-3y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 32 } \\ { 5 x - 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=5$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+3y=32,5x-3y=13$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+3y=32$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-3y+32$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+32\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -3y+32.

$$x=-\frac{3}{4}y+8$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{4}+8-ით x მეორე განტოლებაში, 5x-3y=13.

$$5\left(-\frac{3}{4}y+8\right)-3y=13$$

გაამრავლეთ 5-ზე -\frac{3y}{4}+8.

$$-\frac{15}{4}y+40-3y=13$$

მიუმატეთ -\frac{15y}{4} -3y-ს.

$$-\frac{27}{4}y+40=13$$

გამოაკელით 40 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{27}{4}y=-27$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{27}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: x=-\frac{3}{4}y+8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{4}\times 4+8$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{4}-ზე 4.

$$x=-3+8$$

მიუმატეთ 8 -3-ს.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+3y=32,5x-3y=13$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\13\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&3\\5&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\13\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\13\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 5}&-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-3\right)-3\times 5}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{4}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\13\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 32+\frac{1}{9}\times 13\\\frac{5}{27}\times 32-\frac{4}{27}\times 13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=5,y=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+3y=32,5x-3y=13$$

იმისათვის, რომ 4x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 32,4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 13$$

გაამარტივეთ.

$$20x+15y=160,20x-12y=52$$

გამოაკელით 20x-12y=52 20x+15y=160-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$20x-20x+15y+12y=160-52$$

მიუმატეთ 20x -20x-ს. პირობები 20x და -20x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$15y+12y=160-52$$

მიუმატეთ 15y 12y-ს.

$$27y=160-52$$

მიუმატეთ 160 -52-ს.

$$27y=108$$

ორივე მხარე გაყავით 27-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: 5x-3y=13. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x-3\times 4=13$$

გაამრავლეთ -3-ზე 4.

$$5x-12=13$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=25$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=4$$