გადაწყვიტეთ {l}{4x+3y=12}{x+9x+y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 12 } \\ { x + 9 x + y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{3}{26}\approx -0.115384615$$

$$y = \frac{54}{13} = 4\frac{2}{13} \approx 4.153846154$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დააჯგუფეთ x და 9x, რათა მიიღოთ 10x.

$$10x+y=3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+3y=12,10x+y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+3y=12$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-3y+12$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -3y+12.

$$x=-\frac{3}{4}y+3$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{4}+3-ით x მეორე განტოლებაში, 10x+y=3.

$$10\left(-\frac{3}{4}y+3\right)+y=3$$

გაამრავლეთ 10-ზე -\frac{3y}{4}+3.

$$-\frac{15}{2}y+30+y=3$$

მიუმატეთ -\frac{15y}{2} y-ს.

$$-\frac{13}{2}y+30=3$$

გამოაკელით 30 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{13}{2}y=-27$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{13}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{54}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{54}{13}-ით y აქ: x=-\frac{3}{4}y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{54}{13}+3$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{4}-ზე \frac{54}{13} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{81}{26}+3$$

მიუმატეთ 3 -\frac{81}{26}-ს.

$$x=-\frac{3}{26}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{3}{26},y=\frac{54}{13}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დააჯგუფეთ x და 9x, რათა მიიღოთ 10x.

$$10x+y=3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+3y=12,10x+y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&3\\10&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-3\times 10}&-\frac{3}{4-3\times 10}\\-\frac{10}{4-3\times 10}&\frac{4}{4-3\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}&\frac{3}{26}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}\times 12+\frac{3}{26}\times 3\\\frac{5}{13}\times 12-\frac{2}{13}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{26}\\\frac{54}{13}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{3}{26},y=\frac{54}{13}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დააჯგუფეთ x და 9x, რათა მიიღოთ 10x.

$$10x+y=3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+3y=12,10x+y=3$$

იმისათვის, რომ 4x და 10x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 10-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$10\times 4x+10\times 3y=10\times 12,4\times 10x+4y=4\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$40x+30y=120,40x+4y=12$$

გამოაკელით 40x+4y=12 40x+30y=120-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$40x-40x+30y-4y=120-12$$

მიუმატეთ 40x -40x-ს. პირობები 40x და -40x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$30y-4y=120-12$$

მიუმატეთ 30y -4y-ს.

$$26y=120-12$$

მიუმატეთ 120 -12-ს.

$$26y=108$$

ორივე მხარე გაყავით 26-ზე.

$$y=\frac{54}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{54}{13}-ით y აქ: 10x+y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$10x+\frac{54}{13}=3$$

გამოაკელით \frac{54}{13} განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x=-\frac{15}{13}$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$x=-\frac{3}{26}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{3}{26},y=\frac{54}{13}$$