გადაწყვიტეთ {l}{4x+2y=24}{x+6y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 24 } \\ { x + 6 y = 50 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+2y=24,x+6y=50$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+2y=24$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-2y+24$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+24\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -2y+24.

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{2}+6-ით x მეორე განტოლებაში, x+6y=50.

$$-\frac{1}{2}y+6+6y=50$$

მიუმატეთ -\frac{y}{2} 6y-ს.

$$\frac{11}{2}y+6=50$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{2}y=44$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{11}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=8$$

ჩაანაცვლეთ 8-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 8+6$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე 8.

$$x=-4+6$$

მიუმატეთ 6 -4-ს.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=8$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+2y=24,x+6y=50$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\50\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&2\\1&6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\50\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\50\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-2}&-\frac{2}{4\times 6-2}\\-\frac{1}{4\times 6-2}&\frac{4}{4\times 6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\50\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\50\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 24-\frac{1}{11}\times 50\\-\frac{1}{22}\times 24+\frac{2}{11}\times 50\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=8$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+2y=24,x+6y=50$$

იმისათვის, რომ 4x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$4x+2y=24,4x+4\times 6y=4\times 50$$

გაამარტივეთ.

$$4x+2y=24,4x+24y=200$$

გამოაკელით 4x+24y=200 4x+2y=24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x+2y-24y=24-200$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y-24y=24-200$$

მიუმატეთ 2y -24y-ს.

$$-22y=24-200$$

მიუმატეთ 24 -200-ს.

$$-22y=-176$$

ორივე მხარე გაყავით -22-ზე.

$$y=8$$

ჩაანაცვლეთ 8-ით y აქ: x+6y=50. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+6\times 8=50$$

გაამრავლეთ 6-ზე 8.

$$x+48=50$$

გამოაკელით 48 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=8$$