გადაწყვიტეთ {l}{4x+2y=12}{7x+18y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+2y=12$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-2y+12$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -2y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{2}+3-ით x მეორე განტოლებაში, 7x+18y=19.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

გაამრავლეთ 7-ზე -\frac{y}{2}+3.

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

მიუმატეთ -\frac{7y}{2} 18y-ს.

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

გამოაკელით 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{29}{2}y=-2$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{29}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{4}{29}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{4}{29}-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -\frac{4}{29} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{2}{29}+3$$

მიუმატეთ 3 \frac{2}{29}-ს.

$$x=\frac{89}{29}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

იმისათვის, რომ 4x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

გაამარტივეთ.

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

გამოაკელით 28x+72y=76 28x+14y=84-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

მიუმატეთ 28x -28x-ს. პირობები 28x და -28x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$14y-72y=84-76$$

მიუმატეთ 14y -72y-ს.

$$-58y=84-76$$

მიუმატეთ 84 -76-ს.

$$-58y=8$$

ორივე მხარე გაყავით -58-ზე.

$$y=-\frac{4}{29}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{4}{29}-ით y აქ: 7x+18y=19. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

გაამრავლეთ 18-ზე -\frac{4}{29}.

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

მიუმატეთ \frac{72}{29} განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=\frac{623}{29}$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{89}{29}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$