გადაწყვიტეთ {l}{4x+12y=-24}{-8x-20y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 12 y = - 24 } \\ { - 8 x - 20 y = 36 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+12y=-24$$

გამოაკელით 12y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-12y-24$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-12y-24\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -12y-24.

$$x=-3y-6$$

ჩაანაცვლეთ -3y-6-ით x მეორე განტოლებაში, -8x-20y=36.

$$-8\left(-3y-6\right)-20y=36$$

გაამრავლეთ -8-ზე -3y-6.

$$24y+48-20y=36$$

მიუმატეთ 24y -20y-ს.

$$4y+48=36$$

გამოაკელით 48 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: x=-3y-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3\left(-3\right)-6$$

გაამრავლეთ -3-ზე -3.

$$x=9-6$$

მიუმატეთ -6 9-ს.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}&-\frac{12}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}&\frac{4}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\left(-24\right)-\frac{3}{4}\times 36\\\frac{1}{2}\left(-24\right)+\frac{1}{4}\times 36\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

იმისათვის, რომ 4x და -8x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$-8\times 4x-8\times 12y=-8\left(-24\right),4\left(-8\right)x+4\left(-20\right)y=4\times 36$$

გაამარტივეთ.

$$-32x-96y=192,-32x-80y=144$$

გამოაკელით -32x-80y=144 -32x-96y=192-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-32x+32x-96y+80y=192-144$$

მიუმატეთ -32x 32x-ს. პირობები -32x და 32x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-96y+80y=192-144$$

მიუმატეთ -96y 80y-ს.

$$-16y=192-144$$

მიუმატეთ 192 -144-ს.

$$-16y=48$$

ორივე მხარე გაყავით -16-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: -8x-20y=36. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-8x-20\left(-3\right)=36$$

გაამრავლეთ -20-ზე -3.

$$-8x+60=36$$

გამოაკელით 60 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-8x=-24$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-3$$