გადაწყვიტეთ {l}{4p+3q=40}{3p-4q=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 p + 3 q = 40 } \\ { 3 p - 4 q = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა p, q-ისთვის

$$p=7$$

$$q=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4p+3q=40,3p-4q=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი p-ისთვის, p-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4p+3q=40$$

გამოაკელით 3q განტოლების ორივე მხარეს.

$$4p=-3q+40$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$p=\frac{1}{4}\left(-3q+40\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -3q+40.

$$p=-\frac{3}{4}q+10$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3q}{4}+10-ით p მეორე განტოლებაში, 3p-4q=5.

$$3\left(-\frac{3}{4}q+10\right)-4q=5$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{3q}{4}+10.

$$-\frac{9}{4}q+30-4q=5$$

მიუმატეთ -\frac{9q}{4} -4q-ს.

$$-\frac{25}{4}q+30=5$$

გამოაკელით 30 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{25}{4}q=-25$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{25}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$q=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით q აქ: p=-\frac{3}{4}q+10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ p.

$$p=-\frac{3}{4}\times 4+10$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{4}-ზე 4.

$$p=-3+10$$

მიუმატეთ 10 -3-ს.

$$p=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$p=7,q=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4p+3q=40,3p-4q=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&-\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 40+\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 40-\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - p და q.

$$p=7,q=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4p+3q=40,3p-4q=5$$

იმისათვის, რომ 4p და 3p ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$3\times 4p+3\times 3q=3\times 40,4\times 3p+4\left(-4\right)q=4\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$12p+9q=120,12p-16q=20$$

გამოაკელით 12p-16q=20 12p+9q=120-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12p-12p+9q+16q=120-20$$

მიუმატეთ 12p -12p-ს. პირობები 12p და -12p გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9q+16q=120-20$$

მიუმატეთ 9q 16q-ს.

$$25q=120-20$$

მიუმატეთ 120 -20-ს.

$$25q=100$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$q=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით q აქ: 3p-4q=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ p.

$$3p-4\times 4=5$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$3p-16=5$$

მიუმატეთ 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3p=21$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$p=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$p=7,q=4$$