გადაწყვიტეთ {l}{4b+4c=-5}{4b+5c=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 b + 4 c = - 5 } \\ { 4 b + 5 c = - 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა b, c-ისთვის

$$b=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$c=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი b-ისთვის, b-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4b+4c=-5$$

გამოაკელით 4c განტოლების ორივე მხარეს.

$$4b=-4c-5$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$b=\frac{1}{4}\left(-4c-5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -4c-5.

$$b=-c-\frac{5}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -c-\frac{5}{4}-ით b მეორე განტოლებაში, 4b+5c=-6.

$$4\left(-c-\frac{5}{4}\right)+5c=-6$$

გაამრავლეთ 4-ზე -c-\frac{5}{4}.

$$-4c-5+5c=-6$$

მიუმატეთ -4c 5c-ს.

$$c-5=-6$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$c=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით c აქ: b=-c-\frac{5}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ b.

$$b=-\left(-1\right)-\frac{5}{4}$$

გაამრავლეთ -1-ზე -1.

$$b=1-\frac{5}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{4} 1-ს.

$$b=-\frac{1}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-4\times 4}&-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}&\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\left(-5\right)-\left(-6\right)\\-\left(-5\right)-6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - b და c.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

გამოაკელით 4b+5c=-6 4b+4c=-5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4b-4b+4c-5c=-5+6$$

მიუმატეთ 4b -4b-ს. პირობები 4b და -4b გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4c-5c=-5+6$$

მიუმატეთ 4c -5c-ს.

$$-c=-5+6$$

მიუმატეთ -5 6-ს.

$$-c=1$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$c=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით c აქ: 4b+5c=-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ b.

$$4b+5\left(-1\right)=-6$$

გაამრავლეთ 5-ზე -1.

$$4b-5=-6$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4b=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$b=-\frac{1}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$