გადაწყვიტეთ {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a_1, d-ისთვის

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a_{1}-ისთვის, a_{1}-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4a_{1}+6d=3$$

გამოაკელით 6d განტოლების ორივე მხარეს.

$$4a_{1}=-6d+3$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -6d+3.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}-ით a_{1} მეორე განტოლებაში, 3a_{1}+21d=4.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

მიუმატეთ -\frac{9d}{2} 21d-ს.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

გამოაკელით \frac{9}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{33}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$d=\frac{7}{66}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7}{66}-ით d აქ: a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a_{1}.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე \frac{7}{66} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

მიუმატეთ \frac{3}{4} -\frac{7}{44}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a_{1} და d.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

იმისათვის, რომ 4a_{1} და 3a_{1} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

გაამარტივეთ.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

გამოაკელით 12a_{1}+84d=16 12a_{1}+18d=9-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

მიუმატეთ 12a_{1} -12a_{1}-ს. პირობები 12a_{1} და -12a_{1} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$18d-84d=9-16$$

მიუმატეთ 18d -84d-ს.

$$-66d=9-16$$

მიუმატეთ 9 -16-ს.

$$-66d=-7$$

ორივე მხარე გაყავით -66-ზე.

$$d=\frac{7}{66}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7}{66}-ით d აქ: 3a_{1}+21d=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a_{1}.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

გაამრავლეთ 21-ზე \frac{7}{66}.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

გამოაკელით \frac{49}{22} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$