გადაწყვიტეთ {l}{4=3A-9D}{2=8A-8D}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 = 3 A - 9 D } \\ { 2 = 8 A - 8 D } \end{array} \right.$$

ამოხსნა A, D-ისთვის

$$A=-\frac{7}{24}\approx -0.291666667$$

$$D=-\frac{13}{24}\approx -0.541666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$3A-9D=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$8A-8D=2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი A-ისთვის, A-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3A-9D=4$$

მიუმატეთ 9D განტოლების ორივე მხარეს.

$$3A=9D+4$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$A=\frac{1}{3}\left(9D+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 9D+4.

$$A=3D+\frac{4}{3}$$

ჩაანაცვლეთ 3D+\frac{4}{3}-ით A მეორე განტოლებაში, 8A-8D=2.

$$8\left(3D+\frac{4}{3}\right)-8D=2$$

გაამრავლეთ 8-ზე 3D+\frac{4}{3}.

$$24D+\frac{32}{3}-8D=2$$

მიუმატეთ 24D -8D-ს.

$$16D+\frac{32}{3}=2$$

გამოაკელით \frac{32}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$16D=-\frac{26}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$D=-\frac{13}{24}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{13}{24}-ით D აქ: A=3D+\frac{4}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ A.

$$A=3\left(-\frac{13}{24}\right)+\frac{4}{3}$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{13}{24}.

$$A=-\frac{13}{8}+\frac{4}{3}$$

მიუმატეთ \frac{4}{3} -\frac{13}{8}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$A=-\frac{7}{24}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$3A-9D=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$8A-8D=2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&-\frac{-9}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\\-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{3}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 4+\frac{3}{16}\times 2\\-\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\\-\frac{13}{24}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - A და D.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$3A-9D=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$8A-8D=2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

იმისათვის, რომ 3A და 8A ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$8\times 3A+8\left(-9\right)D=8\times 4,3\times 8A+3\left(-8\right)D=3\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$24A-72D=32,24A-24D=6$$

გამოაკელით 24A-24D=6 24A-72D=32-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$24A-24A-72D+24D=32-6$$

მიუმატეთ 24A -24A-ს. პირობები 24A და -24A გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-72D+24D=32-6$$

მიუმატეთ -72D 24D-ს.

$$-48D=32-6$$

მიუმატეთ 32 -6-ს.

$$-48D=26$$

ორივე მხარე გაყავით -48-ზე.

$$D=-\frac{13}{24}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{13}{24}-ით D აქ: 8A-8D=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ A.

$$8A-8\left(-\frac{13}{24}\right)=2$$

გაამრავლეთ -8-ზე -\frac{13}{24}.

$$8A+\frac{13}{3}=2$$

გამოაკელით \frac{13}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$8A=-\frac{7}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$A=-\frac{7}{24}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$