გადაწყვიტეთ {l}{3y-x(y-1)-(y-1)=-xy}{(x+2)^2-(2y+1)^2=x(x+2y)-2y(x+2y)-13}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - x ( y - 1 ) - ( y - 1 ) = - x y } \\ { ( x + 2 ) ^ { 2 } - ( 2 y + 1 ) ^ { 2 } = x ( x + 2 y ) - 2 y ( x + 2 y ) - 13 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-3$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x y-1-ზე.

$$3y-\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)=\left(-x\right)y$$

xy-x-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$3y-xy+x-\left(y-1\right)=\left(-x\right)y$$

y-1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$3y-xy+x-y+1=\left(-x\right)y$$

დააჯგუფეთ 3y და -y, რათა მიიღოთ 2y.

$$2y-xy+x+1=\left(-x\right)y$$

გამოაკელით \left(-x\right)y ორივე მხარეს.

$$2y-xy+x+1-\left(-x\right)y=0$$

გადაამრავლეთ -1 და -1, რათა მიიღოთ 1.

$$2y-xy+x+1+xy=0$$

დააჯგუფეთ -xy და xy, რათა მიიღოთ 0.

$$2y+x+1=0$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$2y+x=-1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}+4x+4-\left(2y+1\right)^{2}=x\left(x+2y\right)-2y\left(x+2y\right)-13$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2y+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}+4x+4-\left(4y^{2}+4y+1\right)=x\left(x+2y\right)-2y\left(x+2y\right)-13$$

4y^{2}+4y+1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{2}+4x+4-4y^{2}-4y-1=x\left(x+2y\right)-2y\left(x+2y\right)-13$$

გამოაკელით 1 4-ს 3-ის მისაღებად.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y=x\left(x+2y\right)-2y\left(x+2y\right)-13$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+2y-ზე.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y=x^{2}+2xy-2y\left(x+2y\right)-13$$

გამოაკელით x^{2}+2xy-2y\left(x+2y\right) ორივე მხარეს.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y-\left(x^{2}+2xy-2y\left(x+2y\right)\right)=-13$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2y x+2y-ზე.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y-\left(x^{2}+2xy-2yx-4y^{2}\right)=-13$$

დააჯგუფეთ 2xy და -2yx, რათა მიიღოთ 0.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y-\left(x^{2}-4y^{2}\right)=-13$$

x^{2}-4y^{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y-x^{2}+4y^{2}=-13$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$4x+3-4y^{2}-4y+4y^{2}=-13$$

დააჯგუფეთ -4y^{2} და 4y^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$4x+3-4y=-13$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$4x-4y=-13-3$$

გამოაკელით 3 -13-ს -16-ის მისაღებად.

$$4x-4y=-16$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2y+x=-1,-4y+4x=-16$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2y+x=-1$$

გამოაკელით x განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=-x-1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=\frac{1}{2}\left(-x-1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -x-1.

$$y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-x-1}{2}-ით y მეორე განტოლებაში, -4y+4x=-16.

$$-4\left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)+4x=-16$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{-x-1}{2}.

$$2x+2+4x=-16$$

მიუმატეთ 2x 4x-ს.

$$6x+2=-16$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-18$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით x აქ: y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -3.

$$y=\frac{3-1}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{2} \frac{3}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=1,x=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x y-1-ზე.

$$3y-\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)=\left(-x\right)y$$

xy-x-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$3y-xy+x-\left(y-1\right)=\left(-x\right)y$$

y-1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$3y-xy+x-y+1=\left(-x\right)y$$

დააჯგუფეთ 3y და -y, რათა მიიღოთ 2y.

$$2y-xy+x+1=\left(-x\right)y$$

გამოაკელით \left(-x\right)y ორივე მხარეს.

$$2y-xy+x+1-\left(-x\right)y=0$$

გადაამრავლეთ -1 და -1, რათა მიიღოთ 1.

$$2y-xy+x+1+xy=0$$

დააჯგუფეთ -xy და xy, რათა მიიღოთ 0.

$$2y+x+1=0$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$2y+x=-1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}+4x+4-\left(2y+1\right)^{2}=x\left(x+2y\right)-2y\left(x+2y\right)-13$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2y+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}+4x+4-\left(4y^{2}+4y+1\right)=x\left(x+2y\right)-2y\left(x+2y\right)-13$$

4y^{2}+4y+1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{2}+4x+4-4y^{2}-4y-1=x\left(x+2y\right)-2y\left(x+2y\right)-13$$

გამოაკელით 1 4-ს 3-ის მისაღებად.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y=x\left(x+2y\right)-2y\left(x+2y\right)-13$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+2y-ზე.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y=x^{2}+2xy-2y\left(x+2y\right)-13$$

გამოაკელით x^{2}+2xy-2y\left(x+2y\right) ორივე მხარეს.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y-\left(x^{2}+2xy-2y\left(x+2y\right)\right)=-13$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2y x+2y-ზე.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y-\left(x^{2}+2xy-2yx-4y^{2}\right)=-13$$

დააჯგუფეთ 2xy და -2yx, რათა მიიღოთ 0.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y-\left(x^{2}-4y^{2}\right)=-13$$

x^{2}-4y^{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y-x^{2}+4y^{2}=-13$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$4x+3-4y^{2}-4y+4y^{2}=-13$$

დააჯგუფეთ -4y^{2} და 4y^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$4x+3-4y=-13$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$4x-4y=-13-3$$

გამოაკელით 3 -13-ს -16-ის მისაღებად.

$$4x-4y=-16$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2y+x=-1,-4y+4x=-16$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&1\\-4&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 4-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 4-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{12}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{12}\left(-16\right)\\\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=1,x=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x y-1-ზე.

$$3y-\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)=\left(-x\right)y$$

xy-x-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$3y-xy+x-\left(y-1\right)=\left(-x\right)y$$

y-1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$3y-xy+x-y+1=\left(-x\right)y$$

დააჯგუფეთ 3y და -y, რათა მიიღოთ 2y.

$$2y-xy+x+1=\left(-x\right)y$$

გამოაკელით \left(-x\right)y ორივე მხარეს.

$$2y-xy+x+1-\left(-x\right)y=0$$

გადაამრავლეთ -1 და -1, რათა მიიღოთ 1.

$$2y-xy+x+1+xy=0$$

დააჯგუფეთ -xy და xy, რათა მიიღოთ 0.

$$2y+x+1=0$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$2y+x=-1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}+4x+4-\left(2y+1\right)^{2}=x\left(x+2y\right)-2y\left(x+2y\right)-13$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2y+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}+4x+4-\left(4y^{2}+4y+1\right)=x\left(x+2y\right)-2y\left(x+2y\right)-13$$

4y^{2}+4y+1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{2}+4x+4-4y^{2}-4y-1=x\left(x+2y\right)-2y\left(x+2y\right)-13$$

გამოაკელით 1 4-ს 3-ის მისაღებად.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y=x\left(x+2y\right)-2y\left(x+2y\right)-13$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+2y-ზე.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y=x^{2}+2xy-2y\left(x+2y\right)-13$$

გამოაკელით x^{2}+2xy-2y\left(x+2y\right) ორივე მხარეს.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y-\left(x^{2}+2xy-2y\left(x+2y\right)\right)=-13$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2y x+2y-ზე.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y-\left(x^{2}+2xy-2yx-4y^{2}\right)=-13$$

დააჯგუფეთ 2xy და -2yx, რათა მიიღოთ 0.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y-\left(x^{2}-4y^{2}\right)=-13$$

x^{2}-4y^{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{2}+4x+3-4y^{2}-4y-x^{2}+4y^{2}=-13$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$4x+3-4y^{2}-4y+4y^{2}=-13$$

დააჯგუფეთ -4y^{2} და 4y^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$4x+3-4y=-13$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$4x-4y=-13-3$$

გამოაკელით 3 -13-ს -16-ის მისაღებად.

$$4x-4y=-16$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2y+x=-1,-4y+4x=-16$$

იმისათვის, რომ 2y და -4y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$-4\times 2y-4x=-4\left(-1\right),2\left(-4\right)y+2\times 4x=2\left(-16\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-8y-4x=4,-8y+8x=-32$$

გამოაკელით -8y+8x=-32 -8y-4x=4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-8y+8y-4x-8x=4+32$$

მიუმატეთ -8y 8y-ს. პირობები -8y და 8y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4x-8x=4+32$$

მიუმატეთ -4x -8x-ს.

$$-12x=4+32$$

მიუმატეთ 4 32-ს.

$$-12x=36$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$x=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით x აქ: -4y+4x=-16. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-4y+4\left(-3\right)=-16$$

გაამრავლეთ 4-ზე -3.

$$-4y-12=-16$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4y=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$y=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=1,x=-3$$