გადაწყვიტეთ {l}{3y-6=x}{x-9=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=39$$

$$y=15$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$3y-6-x=0$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$3y-x=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$x-9-2y=0$$

დაამატეთ 9 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$x-2y=9$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3y-x=6$$

მიუმატეთ x განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=x+6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე x+6.

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{x}{3}+2-ით y მეორე განტოლებაში, -2y+x=9.

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{x}{3}+2.

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

მიუმატეთ -\frac{2x}{3} x-ს.

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{3}x=13$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$x=39$$

ჩაანაცვლეთ 39-ით x აქ: y=\frac{1}{3}x+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 39.

$$y=13+2$$

მიუმატეთ 2 13-ს.

$$y=15$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=15,x=39$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$3y-6-x=0$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$3y-x=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$x-9-2y=0$$

დაამატეთ 9 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$x-2y=9$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=15,x=39$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$3y-6-x=0$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$3y-x=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$x-9-2y=0$$

დაამატეთ 9 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$x-2y=9$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

იმისათვის, რომ 3y და -2y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

გაამარტივეთ.

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

გამოაკელით -6y+3x=27 -6y+2x=-12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

მიუმატეთ -6y 6y-ს. პირობები -6y და 6y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2x-3x=-12-27$$

მიუმატეთ 2x -3x-ს.

$$-x=-12-27$$

მიუმატეთ -12 -27-ს.

$$-x=-39$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=39$$

ჩაანაცვლეთ 39-ით x აქ: -2y+x=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-2y+39=9$$

გამოაკელით 39 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2y=-30$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=15$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=15,x=39$$