გადაწყვიტეთ {l}{3y=6x-3}{2x=7-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y = 6 x - 3 } \\ { 2 x = 7 - y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=2$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$3y-6x=-3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$2x+y=7$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3y-6x=-3$$

მიუმატეთ 6x განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=6x-3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=\frac{1}{3}\left(6x-3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 6x-3.

$$y=2x-1$$

ჩაანაცვლეთ 2x-1-ით y მეორე განტოლებაში, y+2x=7.

$$2x-1+2x=7$$

მიუმატეთ 2x 2x-ს.

$$4x-1=7$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=8$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x აქ: y=2x-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=2\times 2-1$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$y=4-1$$

მიუმატეთ -1 4-ს.

$$y=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=3,x=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$3y-6x=-3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$2x+y=7$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{3\times 2-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-6\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-3\right)+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=3,x=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$3y-6x=-3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$2x+y=7$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

იმისათვის, რომ 3y და y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$3y-6x=-3,3y+3\times 2x=3\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$3y-6x=-3,3y+6x=21$$

გამოაკელით 3y+6x=21 3y-6x=-3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3y-3y-6x-6x=-3-21$$

მიუმატეთ 3y -3y-ს. პირობები 3y და -3y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-6x-6x=-3-21$$

მიუმატეთ -6x -6x-ს.

$$-12x=-3-21$$

მიუმატეთ -3 -21-ს.

$$-12x=-24$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$x=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x აქ: y+2x=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y+2\times 2=7$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$y+4=7$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=3,x=2$$